优先队列与标准模板库

张桄玮

郑州一中(Legacy)

本节内容

理解优先队列的一种实现方法: 二叉堆

  • 二叉树及其表示
  • 如何操纵二叉堆完成我们希望的东西

使用STL

堆和优先队列

允许的操作

操作:

  • 插入一个数(STL)
  • 求这个集合的最小值(STL)
  • 删除最小值(STL)
  • 删除任意的元素
  • 修改任意的元素

是一棵完全二叉树(最后一层从左往右依次排列中间不会空缺)

小根堆的情形:

  • 每一个节点都 \(\leq\) 左右节点的值
    • 根节点是整个树的最小值; 每个节点是以那个节点为子树的最小值.

使用数组存储

既然知道了最多有2个节点, 就可以做一个简单的映射

  • 节点 \(x\) 的左儿子: \(2x\)
  • 节点 \(x\) 的右儿子: \(2x+1\)
  • 节点 \(x\) 的父亲: \(\lfloor x/2\rfloor\) .

好处: 简单, 紧凑; 坏处: 稀疏的时候占据大量无用空间

堆的最基本的操作

  • down(x) 把 \(x\) 往下调整: 不停地找到根左右之间的最小值, 把它与之交换
  • up(x) 把 \(x\) 往上调整: 不停地与父亲节点比较, 如果父亲节点比较大, 就与父亲节点交换
void push_up(int i, int val) {
    while (i > 1 && val < heap[i / 2]) {heap[i] = heap[i / 2]; i /= 2;}heap[i] = val;
}
void push_down(int i, int val) {
    int ch = i * 2;
    while (ch <= size) {
        if (ch < size && heap[ch + 1] < heap[ch]) ch++;if (val <= heap[ch]) break;
        heap[i] = heap[ch];i = ch;ch *= 2;
    }
    heap[i] = val;
}

堆的插入(heap-ins)

  • 无论插入什么, 都要保持原来的性质

插入: 先放到最底下, 然后往上浮动

void insert(int val) {
    int i = ++size;
    push_up(i, val);
}

堆的删除(heap-rem)

把根删了, 然后找一个节点顶上来, 往下移动到合适的位置.

void delete_min() {
    int i = 1;
    int val = heap[size--];
    push_down(i, val);
}
  • 堆模板: P3378

修改

  • 删除任意一个元素: heap[k]=heap[size];size--;down(k)或up(k);
  • 修改任意一个元素: heap[k]=x;down(k)或up(k);

优先队列就可以用堆实现

  • 形式上: 最大的那个先出来
  • 实际上, 从根拽一个出来删掉

P1168 中位数

思路: 开一个大根堆和小根堆

  • 哪个多了就丢给另一个

然后输出堆顶的元素即可.

  • 怎么指定最大堆还是最小堆?
  • 使用函数指针!

P1631 序列合并

题目大意

  • 不降序列 \(A, B\), 两个队列中各取一个相加得到 \(N^2\) 个和
  • 求其中最小的 \(N\) 个.

思考:

  • 有序意味着

\[ \begin{aligned} A[1]+B[1] &\leq A[1]+B[2]&\leq &\cdots &\leq A[1]+B[N] \\ A[2]+B[1] &\leq A[2]+B[2]&\leq &\cdots &\leq A[2]+B[N] \\ && \vdots\\ A[N]+B[1] &\leq A[N]+B[2]&\leq &\cdots &\leq A[N]+B[N] \\ \end{aligned} \]

  • 将这 \(N\) 个队列中的第一个元素放入一个堆中, 最小值在哪个堆就在哪个堆继续.

C++中的STL

世界上一大堆人都在用的语言

STL: 构建程序能够普遍受惠的标准库

  • 排个序/字符串的比较…

标准库函数比大家多考虑的事情:

  • 针对某些体系结构的优化
  • 并发的时候怎么办?

C++11语言的小特性

  • 不需要vector<pair<int, int> >中的空格了!
  • 觉得类型麻烦可以用auto代替
    • auto a=42; // a is of type int
  • 初始化可以变得更加统一了
    • int vals[]{1,2,3};
    • std::vector<int> v{1,2,3};
  • range-based for循环
    • for(decl:coll){ stmt }
      • 是引用还是直接求值?

pair 有序对

  • 构造: std::pair<TypA, TypB> p;
  • 第一个元素: p.first; 第二个元素: p.second.
  • 比较大小: 先比较第一个, 如果相同, 比较第二个
  • 赋值: p=make_pair(val1, val2);
  • 如何把pair的值解压出来? std::tie(ra, rb)=p.

tuple 不定数的值组

  • 含有好多个元素
  • 假设使用了std命名空间
  • 定义一个元组
    • tuple<Typ_1, Typ_2, ..., Typ_n> t;
  • 获取第 \(i\) 个元素
    • Typ_i s = get<i>(t);
  • 生成一个初始的: make_tuple("jyy", "NJU", 2024);
  • 不允许迭代, 并且get<i> 的 \(i\) 要在编译期就决定
  • (往tuple里面写值就更复杂了. 直接摆烂!)

STL的组件(engineering)

  • 不能像我们刚刚那样随手开一个struct说
    • 给, 拿去用吧
  • 泛化能力不强, 而且会写很多重复的代码
  • 三个组件把数据和操作分离
    • 容器(如数组, 链表)
    • 迭代器(在容器里面遍历元素)
    • 算法(处理其中的元素)
  • 相当的复杂!!! 不推荐大家自己写出这么通用的代码!

容器(container)

容器有三大类别:

序列式容器 – 链表/数组

  • 每个元素有确切的位置, 取决于什么时候, 插入到哪的
  • array, vector, deque, list, forward_list

关联式容器 – 二叉树

  • 某种方式排序的集合
  • 元素在哪只和元素的值有关
  • set, multiset, map, multimap

无序容器 – Hash表

  • 不管在哪, 只管你要的元素在不在这个容器里面
  • unordered_map,unordered_set

不定长的数组vector

  • 声明: vector<Type> vec;
  • 往后推入一个元素: vec.push_back(elem);
  • 获得第 \(i\) 个元素: vec[i];
  • 得到大小: vec.size();

实现细节: 当发现不够的时候, 开一个更大的空间把数组的内容搬过去

双端队列deque

喜提 push_front: 往前面插入元素

链表list

  • 劣势: 不能随机访问元素
  • 优势: 插入, 删除一个元素的时候好得多!

一些操作

  • 访问元素: 必须使用range based for loop
    • 最前端的front()和back()可以直接访问
    • 使用的时候必须判定list不是空的
  • 可以用begin(), end()获取迭代器的首尾

集合set (多重集合multiset)

依照他们的 “顺序” 排列(严格偏序)

  • x<y, 一定没有y<x
  • x<y, y<z \(\to\) x<z
  • x<x 永远不成立
  • a==b, b==c \(\to\) a==c

操作

  • 创建, 删除, 复制
  • 特殊的查找命令
  • 赋值

映射map

  • 类似与字典
  • 或者认为是数组, 但是下标可以是任何东西
  • 只能对应一个是map, 多个就是multimap

无序容器(hash table)